Algebra lineare Esempi

$x + 5 z = 0$ , $y + 2 z = 0$ , $w = 0$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$w = 0$

$x + 5 z = 0$

$y + 2 z = 0$

Passaggio 4

Sottrai $5 z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5 z$

$w = 0$

$y + 2 z = 0$

Passaggio 5

Sottrai $2 z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2 z$

$w = 0$

$x = - 5 z$

Passaggio 6

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(0, - 5 z, - 2 z, z)$

Passaggio 7

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 z \\ - 2 z \\ z \end{array}]$